ヴァンデル モンド の 行列 式。 最小二乗法を用いた多項式の近似(ヴァンデルモンドの行列式及びクラメルの公式から見た解法)

ヴァンデルモンドの行列式とは

ヴァンデル モンド の 行列 式

性質 [ ]• である。 である。 任意のベクトル x に対しユニタリ行列による変換は isometry である。 対角化可能• の絶対値は 1。 は 1。 の絶対値は 1。 eは、 iは。 同値条件 [ ] 以下の条件は、複素正方行列 U がユニタリ行列であることと同値である:• 行列 U の列は正規直交基底である• 行列 U の行は正規直交基底である• 行列 U はである• 行列 U は単位円上に固有値をもつである 脚注 [ ].

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ヴァンデル モンド の 行列 式

1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 - 0. 0000 0. 0000 - 0. 0000 0. 0000 - 0. 0000 1. 0000 0.

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線形代数

ヴァンデル モンド の 行列 式

独極・QRコード担当の「あじな」です。 今回は、(今回も?)ちょっと寄り道して、「ヴァンデルモンド行列」についての解説です。 またまた、いかつい名前ですね。 ヴァンデルモンドというのはフランスの数学者の名前らしいですよ。 これまでの復習• QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる• QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある• 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため• QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている• 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類• 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類• 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある• 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる• QRコードはバージョンが1〜40まである。 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit 4種類 」「3bit 8種類 」と表現できる種類が増える• 日常の言葉を「エンコード」して「コード 符号 」に置き換え、「コード 符号 」を「デコード」して日常の言葉に戻す• QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類• どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」+「文字数指示子」+「データ」+「終端パターン」+「埋め草ビット」+「埋め草ワード」となる• QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている• 「エラー訂正」は読み取れた 聞き取れた 言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること• 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い• 1,0でできている符号では「ハミング距離 2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数 」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ• 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる• 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる• 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる• 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列 生成行列 」を掛け算する。 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る• 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの• 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの• 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる• 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる• 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる• 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ• 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。 「行列式」は「正方行列」だけが持っている• 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という• 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ• 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」• 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。 「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。 全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」• ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」 もしくは「行」 を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる• ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。 ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。 ある「行 もしくは列 」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ• 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である• 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する• 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる• 「階段行列」は上の行から、左側 0の部分を除きます を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る• 「ランク」はその「行列」の中の独立した行 または列 の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる• 「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる• 「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの• 「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。 逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている• エラー訂正機能のスペックは「n 「エラー訂正機能付符号」の「長さ」 」、「k 実質的に単語を表現する桁数 」、「d 「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」 」の3つ• エラー訂正機能のスペックの「n 「エラー訂正機能付符号」の「長さ」 」は「検査行列」の行数と同じ• エラー訂正機能のスペックの「k 「実質的に単語を表現する桁数 」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n- 検査行列のランク 」となる• 同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる• 「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる• リード・ソロモンの「検査行列」のランクは2t ヴァンデルモンド、再来 「ヴァンデルモンド」って、ラスボスでいそうですよね。 人の名前なので、失礼なのはわかっているのですが、ついつい。 さぁ、気を取り直して、今回のテーマは「なぜ、ヴァンデルモンド行列の行列式は0にならないのか」です。 ということで、もう一度、ヴァンデルモンド行列を書いておきましょう。 まず、ヴァンデルモンド行列の特徴です。 「行列」の左端の要素がすべて「1」になっている。 「行列」のサイズがn行n列の「正方行列」になっている。 そして、ヴァンデルモンド行列の行列式の具体例はこんなやつです。 早速、ゴリっと計算してみましょう。 さて、何がやりたいかというと、このn行n列の行列から、さくっと1行目と1列目を消し去って、 n-1 行 n-1 列の行列に縮小してしましたいです。 はぁ、できるもんならどうぞ・・・。 って言わずっちょっとだけ付き合ってください。 マジでできるんですって。 行列式の値は、各行や列に数字を掛け算したものを他の行から引き算しても変わらないのでしてよね。 すると、こんな感じになりましょね。 ちょっとだけ、1行目が消えそうな予感しません?だって、右上のやつが「0」になったでしょ。 でも、ちょっと見づらいから2行目以降のn列目 を整理して書きましょう。 なんだか、法則がわかってきましたね。 すると、これを続けていくと、こんな感じになるはずですよね。 さぁ、ここから大手術! 余因子展開の出番です。 余因子展開とは、次のように行列式の値の計算を展開することでした。 ということは、結局先ほどの行列式の1行1列目で余因子展開すると 「元の行列から1行目と1列目を取り去った行列の行列式」となっちまうんです!! すると、こんな感じになりますね。 でも、驚くのはこれだけじゃありません。 ここから更に魔法がかかります。 まぁ、そうなるように作ったので・・ ここで、行列式の特徴「ある「行 もしくは列 」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ」を使います。 ・・・というように、すべての行から掛け算されている定数を行列式の外に出すと、こんな感じになります。 これって、 また「ヴァンデルモンド行列」になってますよね?でも、はじめの「ヴァンデルモンド行列」よりもサイズが1つ小さくなっています。 ということは、この小さな「ヴァンデルモンド行列」に今までと同じことを繰り返すと・・・ 過去は繰り返す・・・ そう、繰り返すとこうなります。 なので、最終的にはこうなります。 結局、「ヴァンデルモンド行列」の行列式は、中の要素をそれぞれ引き算したものを掛け合わせたものになるんですね。 結局、「ヴァンデルモンド行列」の行列式の値は? もし、 中の要素に「同じ値」があれば、先ほどの掛け算の中の要素のどれか一つが「0」になってしまい、行列式全体の値も「0」になります。 一方、 中の要素に「同じ値」がなければ、先ほどの掛け算は絶対に「0」にはなりませんね。 これで、ようやく、同じ値の要素がなければ「ヴァンデルモンド行列」の行列式は「0」にはならないということが証明できました!!! さて、次回はまたもや「リード・ソロモン」の検査行列の解説に戻ります。

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